¿La dimensión, importa?
Luis A. Pugnaloni. Instituto de Física de Líquidos y Sistemas Biológicos (CONICET La Plata, UNLP).
Hace poco participé de un taller (workshop) sobre coloides y granulares. El evento se llamó "Particulate matter: Does dimensionality matter?". Cuya significación es: Es importante la dimensión en sistemas formados por partículas? Aquí "partículas" se refiere a objetos visibles, al menos en un microscopio convencional.
Participaron colegas de Europa (la mayoría), América (casi todos del norte) y Asia (muy pocos). Durante el evento se propuso la pregunta, usada como título del encuentro, multiples veces. Diferentes especialistas ofecían diferentes respuestas. La semana de charlas y exposiciones terminó y no se llegó a conclusión alguna: unos insistían en que la dimensión no es importante y otros en que si.
En esta nota intento explicar las razones de lo inútil que es responder preguntas como estas desde un aspecto técnico. Usaré este evento científico como "mal" ejemplo. Pero al final comentaremos la verdadera función de preguntas como estas en contextos como el taller mencionado.
Una pregunta del estilo: ¿La dimensión, importa? es tan vaga que cada interlocutor puede interpretar de forma diferente la consigna. Quiero destacar que esta pregunta usa dos palabras cuyo significado es extremadamente ambiguo.
Dimensión. Esta palabra parece ser algo muy bien definido. Sin embargo en esta conferencia había concepciones diferentes. Lamentablemente, se discutía sin darse cuenta de que en ocasiones se referían a cosas distintas. Para algunos (en especial para los experimentalistas) la dimensión de un sistema se puede controlar confinando las partículas en espacios planos o lineales. Por ejemplo, unas cuantas bolitas entre dos placas de vidrio bien cercanas constituiría un sistema en dos dimensiones (2D).
Así, es posible cambiar lentamente a un sistema tridimansional (3D) alejando poco a poco las placas de vidrio una de otra. Para otros (los más teóricos) la dimensión podía cambiar de uno a infinito pero sólo de uno en uno. Claramente unos piensan en "dimensión" como sinónimo de "confinamiento". Esto es, ¿en cuántas direcciones dejo que las partículas comunes y tridimensionales de nuestro mundo se muevan?. Otros pensaban en partículas que eran de otro mundo, bidimensionales, que ni podían imaginar la tercera dimensión, o n-dimensionales incluso.
Quiero aclarar que es posible describir un mundo estrictamente 2D. Pero en ese caso, las fuerzas de interacción entre objetos en ese mundo deben ser diferentes al mundo 3D. La fuerza electrostática de Coulomb, por ejemplo, en un mundo estrictamente unidimensional (1D) no es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre las cargas eléctricas sino independiente de la distancia. Mucho más complejo sería conocer las complicadas fuerzas de fricción entre objetos macroscópicos en un mundo extrictamente 1D.
Importa Lo que a mi me importa quizá no te importa. Preguntar si algo importa en una conferencia como esta implica que queremos saber la opinión subjetiva de los participantes, no se puede esperar una respuesta factual. La importancia de las cosas es de caracter relativo y subjetivo. Así, escuché científicos (Frederic Lechenault) decir que sus experimentos eran más simples en 2D (confinados a un plano, para hablar con propiedad) y por eso es importante la dimensión; porque complica o simplifica los experimentos. Lo mismo puede decir un teórico porque sus cálculos son más simples en unas dimensiones que en otras.
Otros (Corey O'Hern), pensando de un modo más general, decían que sus resultados no cambiaban en forma "importante" con la dimensión y por lo tanto ésta no importaba. Este último argumento es más fuerte pero merece ser atacado. ¿Qué significa que un resultado cambia en forma "importante"? La respuesta puede ser variada.
Doy como ejemplo tres visiones estereotipadas posibles según un ingeniero, un físico y un matematico (y no intento contar un chiste). Ingeniero: Si la propiedad A como función del parámetro B cambia en un factor 2 al pasar de 2D a 3D entonces la dimensión importa. El valor cuantitativo de una propiedad es importante. Físico: Si la propiedad A como función del parámetro B cambia al menos su forma funcional al pasar de 2D a 3D entonces la dimensión importa. La forma funcional es valorada por encima de los detalles cuantitativos. Matemático: Si la propiedad A como función del parámetro B cambia al menos su topología al pasar de 2D a 3D entonces la dimensión importa. No deslumbra un cambio de forma funcional, hace falta la aparición de discontinuidades para que resulte importante.
Lo que importa a los que importan Como es de esperar, no se puede responder en forma definitiva la pregunta propuesta en la conferencia de ejemplo. Pero si se puede aprovechar para escuchar opiniones y aprender qué le importa a los importantes. Estos pueden decidir donde poner dinero y donde publicar resultados. Varios científicos influyentes estaban presentes. No pude intuir que alguno de estos se dieran cuenta de lo inapropiada de la pregunta dado su afán por responderla según su leal entender.
Queda claro que sus respuestas guían a los menos influyentes sobre que tipo de investigaciones debieran seguir en el futuro si desean recibir la aprobación de aquellos otros. Quizá ese era el objetivo de los organizadores.
Siempre se aprenden cosas interesantes. Más allá de esto, siempre se aprenden cosas en las reuniones científicas. Cuento aquí un par de cosas que escuche (no por vez primera), que considero suficientemente generales para que le interese a cualquiera.
Teorías locas: Un matemático (Henry Cohn) dictó una conferencia sobre cuál es la máxima densidad con que se pueden acomodar esferas en cualquier dimensión (especialmente de 4D a infinitoD). Comentó sobre las peculiaridades de la 8D que la hacen especialmente interesante (para él). Cómo Henry parece estar acostumbrado a que le digan que eso de n-dimensiones es una locura matemática sin utilidad, empezó por explicar que un famoso matemático en la década de 1940 explicó que las señales que intentaban mandar en una línea de transmisión de información (radio, teléfono, etc) estaban limitadas por el número de "esferas de ruido" en el espacio multidimensional de los parámetros que controlan las propiedades de la señal que podían acomodarse. Esto es una aplicación muy concreta del problema de acomodar esferas en n-dimensiones para la industria de las telecomunicaciones. Aún así, me pregunto que tan impostante es que sean hiperesferas (nombre para referirse a esferas matemáticas en dimensiones mayores a 3) en lugar de hipercubos (cubos matemáticos en n-dimensiones) cuyo ordenamiento intuyo es tan fácil como el de cubos convencionales (3D), cuadrados (2D) y segmentos (1D).
¿Para qué investigar en 1D y en infinitoD? Un prestigioso científico de la audiencia (Bob Behringer), preguntó qué sentido tenían estudios teóricos sobre 1D o infinitoD que nunca se podrán llevar a la realidad. Atinadamente uno de los organizadores (Patrick Charbonneau) le aclaró que esas teorías admiten soluciones matemáticas exactas y que pueden servir como modelos de prueba para simulaciones numéricas. Dado un algoritmo numérico para modelado de sistemas 3D, se lo puede probar en 1D e infinitoD para ver si cumplen con los teoremas demostrados por los matemáticos. Si lo hacen uno gana en confianza sobre lo que estos cálculos numéricos podrían decirnos en casos 3D.