Einstein, Tucumán y el infinito

Gaston Giribet. Investigador del Center for Cosmology and Particle Physics de New York University. Profesor de la UBA e Investigador Principal del CONICET.

Hace 75 años, Albert Einstein y Wolfgang Pauli escribían en coautoría un artículo en el que estudiaban las divergencias de la teoría de Kaluza y Klein, la teoría que sostiene que nuestro universo podría tener una quinta dimensión. Al poco de comenzar a leer ese artículo, publicado en Annals of Mathematics en 1943, uno inevitablemente atiende a una curiosa cita bibliográfica que aparece al pie de la primera página. Se trata de la cita a una ignota precuela de 1941 publicada por Albert Einstein en la Revista de la Universidad Nacional de Tucumán. En su artículo tucumano, Einstein daba una demostración ingeniosa de la inexistencia de soluciones masivas y finitas en su teoría de la Relatividad General.

El artículo de Tucumán fue encargado a Einstein por el matemático italiano Alessandro Terracini interpósita persona. Fue Guido Fubini quien, a mediados de 1941, intercedió para pedirle a Einstein que considerara la posibilidad de enviar una contribución para la Revista de la Universidad Nacional de Tucumán, revista que por aquel entonces estaba siendo fundada por Terracini y colaboradores (Terracini, 1941; 1944). Einstein aceptó amablemente la invitación y cumplió con enviar un artículo breve, al que se refirió como “ein hübscher beweis”, una donosa demostración (Einstein, 1941c).

En su artículo, Einstein presentaba una demostración sucinta de la inexistencia de soluciones esféricamente simétricas y regulares en la teoría de la Relatividad General. Más precisamente, Einstein demostraba en su trabajo que sus ecuaciones para el campo gravitatorio no admitían soluciones que cumplieran con los siguientes cuatro requisitos simultáneamente:

• a) exhibir simetría esférica,
• b) no depender explícitamente del tiempo,
• c) aproximar a largas distancias las soluciones de las ecuaciones newtonianas,
• d) no presentar divergencias del campo.

Obedecer los cuatro requisitos implicaría un absurdo, concluía el trabajo. Estas cuatro propiedades son, desde el punto de vista de la física, requerimientos muy naturales. En efecto, se trata de las propiedades que uno esperaría del campo gravitatorio generado, por ejemplo, por una partícula: Si uno piensa en una partícula u otro objeto masivo, compacto, esférico y en reposo, entonces las condiciones a) y b) no son sino la exigencia de que el campo generado por el objeto respete las simetrías del objeto mismo –esférico y en reposo–. Por su parte, pedir la validez de la condición c) es simplemente pedir que lejos del objeto, donde el campo gravitatorio generado por éste es desdeñable, dicho campo sea bien aproximado por la teoría gravitatoria de Newton, que se sabe cierta precisamente en el régimen de campo débil. Es la requisito d), acaso, el que demanda más justificación. La razón fundamental para pedir, o al menos desear, que el campo generado por un objeto no sea divergente sino finito es que las singularidades –los infinitos– que con frecuencia aparecen en las soluciones a las ecuaciones de campo introducen un alto grado de arbitrariedad en la teoría, algo que se considera inaceptable para una teoría fundamental. Cuando las ecuaciones arrojan soluciones que en algún punto o región del espacio o del tiempo resultan infinitas, entonces las ecuaciones pierden predictibilidad, ya que el infinito no es “mucho” sino una indeterminación del valor calculado.

Este problema se acentúa cuando hablamos del campo gravitatorio, ya que, según la teoría de Einstein, el campo gravitatorio es inextirpable de la geometría del espacio-tiempo mismo. Debido a esto, un resultado infinito de las ecuaciones del campo gravitatorio implica una fisura en el entramado espacio-temporal. Asimismo, Einstein encontraba un segundo inconveniente en el infinito: Era su íntima convicción que la materia debía ser parte inescindible de la teoría del campo, y que los objetos no eran los que generaban campos –gravitatorios o eléctricos– sino que éstos eran, per se, campo. Es decir, para Einstein la materia, las partículas, debía poder ser explicada como acumulación finita de campo; como si las partículas que gravitan no fueran otra cosa que la mera concentración del mismo campo gravitatorio que parecen generar. Su conclusión de que el campo en el centro del objeto que lo generaba debía ineluctablemente ser infinito parecía atentar contra esta bella idea.

El trabajo de Einstein (Einstein, 1941a) venía demostrar de una manera ingeniosa que las soluciones de las ecuaciones del campo gravitatorio eran inevitablemente divergentes, inevitablemente infinitas en algún punto del espacio. El título original del borrador de Einstein en alemán era “Beweis der Nichtexistenz von Singularitätsfreien Gravitationsfeldern mit nicht Verschwindender Gesamtmasse”, traducción literal de los títulos con los que después se publicaría (Einstein, 1941a; 1941d): “Demostración de la no existencia de campos gravitacionales sin singularidades de masa total no nula”.

El manuscrito se encuentra en posesión de la Biblioteca Matemática de la Universidad de Turín. Se trata de un trabajo no muy conocido, aunque aparece citado en algunas fuentes, e.g. (Föolsing, 1993; Earman y Eisenstaedt, 1999; van Dongen, 2002). Fue Abraham Taub, un reconocido relativista, quien reseñó el artículo de Einstein para Mathematical Review (Taub, 1942). La traducción del original en alemán fue supervisada por el mismo Terracini, quien en una carta dirigida a Einstein le informó de que se iban a preparar dos traducciones, una al castellano y otra al inglés (Terracini, 1941). Ambas versiones (Einstein, 1941d; 1941a) se publicaron en el mismo volumen de la serie A de la Revista de la Universidad Nacional de Tucumán en diciembre de 1941.

En las ediciones siguientes la Revista continuaría publicando artículos en el tema; en especial, trabajos relacionados con teorías de campo unificado, e.g. (Santaló, 1954; 1959). La demostración de Einstein de la inexistencia de soluciones no-divergentes a las ecuaciones de campo adquiere importancia, no por tratarse de un resultado novedoso en el contexto de la Relatividad General, sino debido a su cualidad de ser fácilmente generalizable a otras teorías de campos. Una de esas generalizaciones es la que presentaron Einstein y Pauli en su artículo (Einstein y Pauli, 1943), en el que investigaban la existencia de soluciones regulares en la teoría de Kaluza-Klein.

Otra generalización de la demostración de Einstein fue la adaptación que, en 1948, Papapetrou hizo al caso de la teoría no-simétrica del campo unificado en la que en ese momento Einstein y su soldadesca se encontraban trabajando (Einstein, 1945; Einstein and Straus, 1946; Einstein, 1949; Einstein and Kaufman, 1952; 1953; 1954; 1955). Papapetrou argüía en su trabajo (Papapetrou, 1948) que tampoco la generalización no-simétrica de la Relatividad General estaba a salvo de los temibles infinitos.

El criterio de existencia de soluciones no-divergentes a las ecuaciones de campo llegó a convertirse en un regente severo en la búsqueda de Einstein de una teoría del campo unificado. Su firme creencia en que en una teoría final los constituyentes de la materia deberían poder ser entendidos como acumulaciones finitas de campo puro lo llevó, en varias ocasiones, a abandonar líneas de investigación que al comienzo se mostraban promisorias. Algunos incluso afirman que, para Einstein, el hecho de que la materia y los campos fueran entidades de naturaleza distinta era tan poco satisfactorio como el hecho de que las distintas fuerzas de la naturaleza no nacieran de una única e irreducible ecuación.  

Agradecimientos: El autor le agradece a Mariano Galvagno por la colaboración en la redacción de este texto, con las traducciones, la bibliografía, y por las discusiones sobre temas relacionados.

Referencias

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