El problema de Fermi, Pasta y Ulam: “Un pequeño descubrimiento”

Fernando Vericat: Instituto de Física de Líquidos y Sistemas Biológicos (CONICET – UNLP – CIC)

MANIAC.

A principios de 1952 la computadora MANIAC-I (Mathematical Analyzer Numerical Integrator And Calculator) fue puesta en servicio en Los Alamos. A mediados de ese mismo año, el físico Enrico Fermi decidió poner a prueba la potencialidad de la misma y propuso considerar la posibilidad de utilizarla como herramienta para investigar problemas dinámicos no lineales mediante “experimentos” numéricos. Con ese fin se asoció con el especialista en computación John Pasta y el matemático Stanislaw Ulam.

El problema que eligieron para comenzar puede calificarse de modesto para los estándares actuales de computación: un conjunto de N = 32 masas puntuales iguales que pueden moverse a lo largo de una recta. Cada masa está unida a la anterior y a la siguiente mediante un resorte y los extremos de esta cadena están fijos. Los resortes fueron considerados como cuasi ideales, superponiendo a la fuerza lineal, característica de resortes que se comportan idealmente como osciladores armónicos, una pequeña fuerza perturbativa, cuadrática con la distancia entre las correspondientes masas vecinas.

Sabemos de los textos de Física básica que para el sistema no-perturbado, las N acciones, además de la energía total, son también constantes de movimiento. En consecuencia, para un conjunto de acciones dadas, el sistema no puede recorrer toda la superficie de energía total constante sino que la trayectoria estará restringida a una curva específica (la curva que es la intersección de todas las superficies admitidas, una para cada acción). El sistema es completamente integrable. No existe ninguna incertidumbre acerca del movimiento. El movimiento claramente es no-ergódico. Esto significa que si distribuimos inicialmente la energía total, de manera que esté toda concentrada en un solo modo normal, ésta permanecerá siempre en él, que será por lo tanto el único modo excitado.

Por supuesto que todas estas cuestiones eran bien conocidas por Fermi, Pasta y Ulam. Pero ellos esperaban que, al introducir la menor perturbación al sistema descrito por el Hamiltoniano no-perturbado, con el tiempo la energía se distribuiría equitativamente entre todos los modos normales transformándose el movimiento en ergódico.
Cabe señalar a esta altura, que a fines del siglo XIX y principios del siglo XX, estaba claro que los métodos analíticos desarrollados durante los siglos anteriores, por Lagrange, Laplace, Hamilton, Jacobi, Liouville y otros ilustres físico-matemáticos tenían limitaciones de tipo operativo y que problemas aparentemente tan sencillos como el movimiento de tres cuerpos interactuando entre sí, no eran integrables y no admitían en consecuencia soluciones analíticas cerradas.

Fue en esas circunstancias que el matemático francés Henri Poincaré reconoció la necesidad de utilizar un enfoque diferente para tratar sistemas dinámicos que eran, debido a su complejidad, no integrables. En lugar de tratar de obtener en forma explícita y cuantitativa las trayectorias de los sistemas dinámicos consideró la posibilidad de estudiar las propiedades de las mismas más cualitativamente desde un punto de vista geométrico y topológico.
Sin embargo este enfoque, en particular, y los estudios de sistemas dinámicos clásicos, en general, se vieron relegados de la atención de los físico-matemáticos durante prácticamente toda la primera mitad del siglo XX en razón del arrasador éxito de la Mecánica Cuántica, al cual, dicho sea de paso, el propio Fermi contribuyó significativamente.

Esa era, en líneas generales, la situación cuando Fermi, Pasta y Ulam realizaron la simulación numérica de la cadena de resortes. Según ya comentamos, ellos esperaban que la adición del término perturbativo, aún para una intensidad pequeña, se tradujera en la ergodicidad del sistema y la equipartición de la energía entre sus N modos normales. Sin embargo, y para su sorpresa, lo que observaron fue que, partiendo de un estado en el que toda la energía estaba concentrada en el armónico fundamental, la energía comenzaba, efectivamente a distribuirse entre los demás modos, pero esto ocurría hasta solamente el cuarto o quinto. Luego, con el tiempo, empezaba a concentrase nuevamente en el primer modo para luego recomenzar a distribuirse nuevamente entre esos pocos primeros armónicos, siguiendo un comportamiento cuasi-periódico que “modulaba” al comportamiento periódico de los modos normales no perturbados.

Donde esperaban ver el desorden de la ergodicidad, ellos encontraron en realidad orden. Esto resultó inesperado para FPU a tal punto que Fermi llegó a hablar de “un pequeño descubrimiento”. Esto constituye un ejemplo, quizás el primero, de una regla bastante aceptada en los estudios modernos de sistemas no lineales y complejos: que lo interesante generalmente está en encontrar no lo que uno esperaría sino lo inesperado.

Fermi murió en noviembre de 1954, y los resultados de esa primera simulación en dinámica nunca fueron formalmente publicados. Sin embargo un borrador con los mismos circuló entre unos pocos físicos y matemáticos especialistas, contribuyendo a incentivar significativamente los estudios en dinámica clásica que, incipientemente, eran retomados por algunos de ellos.

Muchos de los nuevos esfuerzos fueron orientados a explicar el comportamiento del modelo de FPU lo cual a su vez generó, por retroalimentación, nuevos desarrollos. En general los intentos para resolver el problema de FPU se pueden dividir en dos grandes grupos: Uno de ellos considera al problema FPU como un claro caso de la llamada estabilidad KAM (por Kolmogorov, Arnold y Moser); el otro como un ejemplo de solitones KdV (por Korteweg-deVries). Tanto la demostración de la conjetura de Kolmogorov por Arnold y Moser (teoría KAM), dentro de la línea geométrico-topológica de Poincaré, así como la aparición de solitones como solución de la ecuación KdV, fueron publicadas en la década del 60 e inmediatamente se pensó en aplicarlos para explicar el problema de FPU.

No es el espíritu de esta nota mostrar los aciertos y limitaciones de cada uno de estos (y otros) enfoques para explicar los resultados de FPU. Esto requeriría de una serie de detalles técnicos más allá de las pretensiones de la misma. Simplemente hemos querido señalar, en una perspectiva más bien histórica, la trascendencia del problema FPU dentro de una rama de la Ciencia que, desde la segunda mitad del siglo XX, viene creciendo en forma notable: la dinámica no-lineal o, en general, la física de sistemas complejos. Términos como ergódico, caos determinístico, atractores, puntos periódicos, ciclos, estabilidad, sensibilidad a condiciones iniciales, fractales, etc, se han vuelto comunes en la jerga científica. También las simulaciones numéricas mediante nuevas computadoras, con capacidades cada vez mayores, son hoy en día rutina, así como las colaboraciones entre físicos, matemáticos, programadores y científicos de los más diversos campos. El “pequeño descubrimiento” de Fermi, Pasta y Ulam puede considerarse, en muchos aspectos, como pionero en relación a esos conceptos y metodologías.

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